OBJETIVO:
- Interpretará tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
- Argumentará la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales mediante el lenguaje verbal y matemático.
- Formulará y resolverá problemas matemáticas, aplicando diferentes enfoques.
2.1. Pendiente y ángulo de inclinación.
2.2. Rectas paralelas.
2.3. Rectas perpendiculares.
2.4. Formas de la ecuación de una recta y sus transformaciones.
2.5. Ecuación simétrica de la recta.
¿ESTAS LISTO? A TRABAJAR!!
La unidad incluye:
- Evaluación diagnóstica
- Ejercicios
- Actividades (inicio, desarrollo)
- Material de apoyo
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
1. ¿A qué se le llama pendiente de una recta?
2. ¿Cómo obtenemos el punto donde se cruzan las rectas?
3. ¿Cuál es la fórmula general de la ecuación de una recta?
4. ¿Cuál es la fórmula para obtener la función tangente en un triángulo rectángulo?
5. ¿Cómo obtienes la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano?
EJERCICIOS
2.1. PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN.
Para la geometría plana la línea recta tiene las siguientes características:
a) Es la distancia más corta entre dos puntos.
b) Basta conocer dos de sus puntos para determinarla.
c) Es una sucesión de puntos en una misma dirección.
d) Es infinita en cualquiera de sus dos sentidos.
e) Es la gráfica de una ecuación lineal o de primer grado.
En este curso aprenderás otras formas de determinar una línea recta y de su trazo, como localizar los puntos para trazarla, el significado de su inclinación, de cómo localizar el punto donde se cruza con otras, etc.
El curso de geometría analítica es muy ameno y te permitirá aplicar muchos de los conocimientos aprendidos anteriormente.
La pendiente de una recta depende de su grado de inclinación. La tangente es la línea que en el tríangulo rectángulo trazado en un círculo unitario con vértice en el origen de los ejes coordenados es perpendicular al eje de las X o paralela al eje de las Y, y la pendiente es la inclinación de la línea que va del centro del círculo hasta cruzarse con la tangente.
En un triángulo rectángulo la identificamos como el cateto opuesto.
La tangente y el seno son paralelos sólo, que el seno está dentro del círculo y la tangente por el exterior y sólo lo toca en un punto, los dos forman ángulo recto con el coseno (son perpendiculares al coseno).
El seno se representa como al cateto opuesto al ángulo que tiene su vértice en el origen. El seno está dentro del círculo al que llamamos círculo unitario porque representa a una circunferencia del radio igual a 1(uno).
El coseno va del origen del ángulo (centro del círculo) al punto donde inicia el seno.
La tangente es una línea que toca al círculo en un punto, es opuesta al ángulo del origen y es paralela al seno pero fuera del círculo tocándolo en un solo punto al que llamamos punto de tangencia.
Le llamamos pendiente a la tangente del ángulo de inclinación de la recta que viene siendo la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con el eje de las X y la tangente.
Cabe aclarar que esa hipotenusa es sólo un segmento de la recta que como sabemos es infinita y se puede prolongar en cualquiera de los dos sentidos, pero eso no cambia su inclinación.
La tangente nunca llegará a cruzarse con el eje de las Y por lo que cuando el ángulo del vértice mide 0° decimos que la tangente es 0 y a medida que la amplitud del ángulo aumenta, también aumenta el valor de la tangente hasta un punto donde ya no se cruza con la hipotenusa y en ese punto el valor de la tangente es infinito, o sea que el valor de la tangente de 90° no existe.
A medida que aumenta el ángulo en el origen, aumenta el valor de la tangente.
Cuando el ángulo mide 0° el valor de la tangente es 0 y en 90° la tangente es infinita.
Como podrás observar, a medida que el ángulo del origen aumenta, la hipotenusa se aproxima más al eje de las Y hasta llegar un momento en que son paralelas y es cuando la tangente es infinita.
En el curso de trigonometría aprendimos que el valor de la tangente se obtiene dividiendo el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente.
Si queremos saber cuál es la tangente de un ángulo de 30°. En un ángulo de 30° la tangente mide la mitad de lo que mide el radio. Si el radio mide 1, entonces la tangente es 0.5.
Esto solo sucede en el ángulo de 30°, en cualquier otro ángulo la relación entre el radio y la tangente es diferente.
En el ejemplo vemos que el radio mide 5 y la tangente 2.5, pero si dividimos 2.5 entre 5 obtendremos un valor de 0.5, por lo que no importa cuánto mida el radio, en un ángulo de 30° la tangente mide la mitad de lo que mide el radio.
Tangente = cateto opuesto = 2.5 = 0.5
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯
cateto adyacente 5
Si anteriormente se menciono que la pendiente era la tangente del ángulo de inclinación de una recta, entonces la pendiente de una recta con una inclinación de 30° es 0.5.
Conocer la pendiente de una recta nos sirve para trazarla, ya que existe una fórmula para hallar la ecuación de una recta si se conocen un punto por donde pasa y su ángulo de inclinación o su pendiente.
y - y₁ = m(x - x₁)
Si de esta fórmula despejamos m, obtenemos la fórmula para calcular la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos por donde pasa.
m = y - y₁
¯¯¯¯¯¯
x - x₁
Nuestro problema se reduce a sustituir los datos de los puntos por donde pasa la recta y una vez conociendo la pendiente también podremos saber el ángulo de inclinación de la recta.
Así si la recta pasa por los puntos P(5, 6) y Q(-2, 3)
Se tiene:
m = y - y₁ m = 6 - 3 m= 3 m = 3
¯¯¯¯¯¯ ⇒ ¯¯¯¯¯¯¯¯ ⇒ ¯¯¯¯¯¯ ⇒ ¯¯¯¯¯
x - x₁ 5 - (-2) 5 + 2 7
Como podemos ver la pendiente es positiva, lo que significa que la recta se inclina hacia la derecha, coincidiendo con la gráfica, lo que nos hace suponer que el resultado es correcto.
Una vez conocida la pendiente, buscamos el ángulo de inclinación.
Ya mencionamos que la tangente era el ángulo de inclinación de la recta m = 3/7 = 0.4285
Si ya sabemos que la tangente del ángulo es 0.4585, buscamos en nuestra calculadora el inverso de la tangente 0.4285 para saber el valor del ángulo en grados.
Inv.. Tan 0.4285 = 23.19°
Esta es la inclinación en grados de nuestra recta. Lo podemos verificar midiendo con un transportador la amplitud en grados que la recta forma con la horizontal.
2.2. "RECTAS PARALELAS".
Geométricamente dos rectas paralelas son aquellas que por más que se prolonguen nunca se cruzan.
Para la geometría analítica las rectas paralelas son aquellas que tienen pendientes iguales.
Una recta pasa por el punto (5, 4) y es paralela a la recta 2x + 3y - 27 = 0.
Hallar la ecuación de la recta en la siguiente gráfica.
Ya sabemos que la pendiente de una recta es -A/B, entonces
La pendiente de la recta es igual a -A/B = -2/3
Observa que se inclina a la izquierda, por eso su pendiente es negativa.
Como las pendientes de dos rectas paralelas son iguales, entonces nuestra ecuación nos quedará:
Punto (5, 4) y pendiente = -2/3
Fórmula y - y₁ = m (x - x₁)
Sustituyendo en la fórmula tendremos
y - 4 = -2/3 (x - 5)
Pasamos el divisor 3 al primer miembro.
3(y - 4) = -2(x - 5)
Hacemos operaciones para eliminar paréntesis.
3y - 12 = -2x + 10
Pasamos al primer miembro los términos con variable y al segundo los términos independientes.
3y + 2x = 12 + 10
Pasamos todos los términos al primer miembro.
3y + 2x = 12 + 10 ⇒ 3y + 2x = 22 ⇒ 2x + 3y - 22 = 0
Como puedes ver, en la gráfica son paralelas porque tienen pendientes iguales.
2.3. "RECTAS PERPENDICULARES"
Geométricamente dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman cuatro ángulos rectos.
Para la geometría analítica dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario (inversamente recíprocas).
Para saber si dos rectas son perpendiculares, podemos utilizar los siguientes procedimientos:
- La pendiente y un punto por donde pasa.
- La ecuación de una de las rectas y un punto por donde pasa.
- La ecuación de las dos rectas.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signo contrario.
Fórmula y - y₁ = m (x - x₁)
Sustituyendo datos.
y -2 = 5/3 (x-4)
Haciendo operaciones.
y - 2 = 5x - 20/3
Pasamos el divisor 3 al primer miembro.
3y - 6 = 5x - 20
-5x + 3y - 6 + 20 = 0
5x - 3y -14 = 0
Si utilizamos un graficador o lo hacemos mediante una tabla, obtendremos las siguientes gráficas.
Si observamos la gráfica, veremos que las dos rectas forman 4 ángulos rectos, lo que nos indica que son perpendiculares.
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x + 3y - 27 = 0 y que pase por el punto (-3, -4)
La pendiente de la recta dada es -A/B = -2/3
La pendiente de la perpendicular es recíproca y de signo contrario = 3/2
Fórmula y - y₁ = m (x - x₁)
Sustituyendo.
y - (-4) = 3/2 (x-(-3) ⇒ y + 4 = 3/2 (x + 3)
Pasamos el divisor 2 al primer miembro.
2(y + 4) = 3(x + 3) ⇒ 2y + 8 = 3x + 9
Pasamos las variables al primer miembro.
-3x + 2y = 9 - 8
Cambiamos signos a toda la ecuación y reducimos términos semejantes.
3x - 2y = -9 + 8 ⇒ 3x - 2y = -1
3X - 2y = 0 Su pendiente es - A = - ( 3 ) = 3
¯¯ ¯¯¯ ¯¯¯
B -2 2
Veamos que las dos ecuaciones son recíprocas y de signo contrario, lo que nos confirma que son perpendiculares.
Veamos las gráficas.
Hallar la ecuación de una recta perpendicular a la recta 2x + 3y - 26 = 0, si sabemos que su pendiente es 5/3 y pasa por el punto (4, 2).
Aplicamos la fórmula para encontrar la ecuación de una recta cuando se conocen un punto por donde pasa y su pendiente.
Fórmula y - y₁ = m (x - x₁)
Sustituyendo datos.
y -2 = 5/3 (x-4)
Haciendo operaciones.
y - 2 = 5x - 20/3
Pasamos el divisor 3 al primer miembro.
3y - 6 = 5x - 20
-5x + 3y - 6 + 20 = 0
5x - 3y -14 = 0
Si utilizamos un graficador o lo hacemos mediante una tabla, obtendremos las siguientes gráficas.
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x + 3y - 27 = 0 y que pase por el punto (-3, -4)
La pendiente de la recta dada es -A/B = -2/3
La pendiente de la perpendicular es recíproca y de signo contrario = 3/2
Fórmula y - y₁ = m (x - x₁)
Sustituyendo.
y - (-4) = 3/2 (x-(-3) ⇒ y + 4 = 3/2 (x + 3)
Pasamos el divisor 2 al primer miembro.
2(y + 4) = 3(x + 3) ⇒ 2y + 8 = 3x + 9
Pasamos las variables al primer miembro.
-3x + 2y = 9 - 8
Cambiamos signos a toda la ecuación y reducimos términos semejantes.
3x - 2y = -9 + 8 ⇒ 3x - 2y = -1
Gráficas de las perpendiculares
Observa que pasa por el punto (-3, -4) y forma 4 ángulos rectos con la recta 2x + 3y - 27 = 0
Determinar si las dos ecuaciones siguientes son perpendiculares.
4x + 6y - 26 = 0 y 3x - 2y = 0
Lo sabremos al encontrar las pendientes de cada una, si son recíprocas y de signo contrario.
4x + 6y - 26 = 0 Su pendiente es - A = - 4 = -2
¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯
B 6 33X - 2y = 0 Su pendiente es - A = - ( 3 ) = 3
¯¯ ¯¯¯ ¯¯¯
B -2 2
Veamos que las dos ecuaciones son recíprocas y de signo contrario, lo que nos confirma que son perpendiculares.
Veamos las gráficas.
2.4. "FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA Y SUS TRANSFORMACIONES"
Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta se expresa mediante una ecuación de primer grado con dos variables en la forma Ax + By + C = 0.
1. Escribir la ecuación y = 17 - 3x en su forma general.
Se pasan todos los términos al primer miembro y se iguala a 0.
y - 17 + 3x = 0
La ordenamos en la forma general.
3x + y - 17 = 0
2. Convertir a su forma general las siguientes ecuaciones. (CLAVE DEL EJERCICIO K56)
a) y = 2x - 7
b) y = 11 - 3x/2
Ecuación simétrica de la recta
Si tenemos la ecuación en su forma general:
Ax + By + C = 0
Si pasamos C al segundo miembro.
Ax + By = - C
Si A, B y C son diferentes de 0, podremos dividir toda la ecuación entre -C; tendremos:
Ax + By = -C
¯¯¯ ¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯
-C -C -C
Ax + By = 1
¯¯¯ ¯¯¯¯
-C -C
Multiplicando por 1 toda la ecuación, en la forma 1/A / 1/A el término por Ax/-C y por 1/B / 1/B el término By/-C nos queda la ecuación:
x + Y = 1
¯¯ ¯¯¯¯
-C -C
¯¯¯ ¯¯¯
A B
Si a -C/A lo llamamos "a" y a -C/B lo llamamos b, tendremos :
x/a + y/b = 1
A esta forma de ecuación la conocemos como ecuación simétrica de la recta.
Con esta forma de ecuación podemos conocer rápidamente los puntos donde la recta cruza los ejes coordenados.
El punto donde la recta corta el eje "x" es "a" y el punto donde la recta corta el eje "y" es b.
1. Si tenemos la ecuación x/5 + y/4 = 1, sabremos de inmediato que los dos puntos donde la recta corta los ejes coordenados son (5, 0) y (0, 4).
Gráfica de la ecuación x/5 + y/4 = 1
La ecuación anterior podemos convertirla a la forma general.
Multiplicamos la ecuación por el común denominador que en este caso es 20 que se obtiene al multiplicar los denominadores 4 y 5.
x/5 + y/4 = 1 Ecuación en forma simétrica.
Multiplicamos toda la ecuación por 20.
20x/5 + 20y/4 = 20
Dividiendo.
4x + 5y = 20
Pasamos el 20 al primer miembro.
4x + 5y - 20 = 0 Ya tenemos la ecuación en su forma general.
Gráfica de la ecuación 4x + 5y - 20 = 0.
Como puedes ver , la recta que representa la gráfica de las dos ecuaciones es la misma, sólo que la primera está en su forma simétrica y la segunda en su forma general. Por lo que podemos decir que las dos ecuaciones, aunque tienen diferente forma representan la misma recta, por lo que podemos afirmar que son iguales.
2. Encuentra los puntos donde la recta 3x + 4y -24 = 0 corta los ejes coordenados.}
Se pasa el término independiente al segundo miembro.
3x + 4y = 24
Se divide la ecuación entre el término independiente.
3x/24 + 4y/24 = 24/24
Se hacen las operaciones y la ecuación nos queda en forma simétrica.
x/8 + y/6 = 1
Lo que nos indica que la recta corta al eje "x" en el punto 8 y al eje "y" en el punto 6.
De la ecuación podemos deducir que los puntos buscados son (8,0) y (0,6).
MATERIAL DE APOYO
PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN:
http://www.mediafire.com/file/fvpqp5ho4uvyvbo/angulo_de_inclinacion_y_pendiente_de_una_recta.pdf/file
Ax + By = - C
Si A, B y C son diferentes de 0, podremos dividir toda la ecuación entre -C; tendremos:
Ax + By = -C
¯¯¯ ¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯
-C -C -C
Ax + By = 1
¯¯¯ ¯¯¯¯
-C -C
Multiplicando por 1 toda la ecuación, en la forma 1/A / 1/A el término por Ax/-C y por 1/B / 1/B el término By/-C nos queda la ecuación:
x + Y = 1
¯¯ ¯¯¯¯
-C -C
¯¯¯ ¯¯¯
A B
Si a -C/A lo llamamos "a" y a -C/B lo llamamos b, tendremos :
x/a + y/b = 1
A esta forma de ecuación la conocemos como ecuación simétrica de la recta.
Con esta forma de ecuación podemos conocer rápidamente los puntos donde la recta cruza los ejes coordenados.
El punto donde la recta corta el eje "x" es "a" y el punto donde la recta corta el eje "y" es b.
1. Si tenemos la ecuación x/5 + y/4 = 1, sabremos de inmediato que los dos puntos donde la recta corta los ejes coordenados son (5, 0) y (0, 4).
Gráfica de la ecuación x/5 + y/4 = 1
La ecuación anterior podemos convertirla a la forma general.
Multiplicamos la ecuación por el común denominador que en este caso es 20 que se obtiene al multiplicar los denominadores 4 y 5.
x/5 + y/4 = 1 Ecuación en forma simétrica.
Multiplicamos toda la ecuación por 20.
20x/5 + 20y/4 = 20
Dividiendo.
4x + 5y = 20
Pasamos el 20 al primer miembro.
4x + 5y - 20 = 0 Ya tenemos la ecuación en su forma general.
Gráfica de la ecuación 4x + 5y - 20 = 0.
Como puedes ver , la recta que representa la gráfica de las dos ecuaciones es la misma, sólo que la primera está en su forma simétrica y la segunda en su forma general. Por lo que podemos decir que las dos ecuaciones, aunque tienen diferente forma representan la misma recta, por lo que podemos afirmar que son iguales.
2. Encuentra los puntos donde la recta 3x + 4y -24 = 0 corta los ejes coordenados.}
Se pasa el término independiente al segundo miembro.
3x + 4y = 24
Se divide la ecuación entre el término independiente.
3x/24 + 4y/24 = 24/24
Se hacen las operaciones y la ecuación nos queda en forma simétrica.
x/8 + y/6 = 1
Lo que nos indica que la recta corta al eje "x" en el punto 8 y al eje "y" en el punto 6.
De la ecuación podemos deducir que los puntos buscados son (8,0) y (0,6).
MATERIAL DE APOYO
PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN:
http://www.mediafire.com/file/fvpqp5ho4uvyvbo/angulo_de_inclinacion_y_pendiente_de_una_recta.pdf/file
http://www.mediafire.com/file/dbih4uwrk24y22m/pendiente_y_angulo_de_inclinacion_de_una_recta.pdf/file
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:
http://www.mediafire.com/file/jk15b0xcb928igd/paralelas_y_perpendiculares.pdf/file
FORMAS DE LA EC. Y SUS TRANSFORMACIONES / ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA:
http://www.mediafire.com/file/rju1691fex1254g/formas_de_la_ec._de_una_recta_y_su_sim%25C3%25A9trica.pdf/file
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