OBJETIVO:
- Construirá e interpretará modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
- Elaborará tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
2.6. Intersección de rectas.
2.7. Ángulo de intersección entre dos rectas.
2.8. Distancia de un punto a una recta.
¿ESTAS LISTO? ¡A TRABAJAR!
La unidad incluye:
Ejercicios
Instrumentos de evaluación
Actividades (desarrollo)
Material de apoyo.
EJERCICIOS
2.6. "INTERSECCION DE RECTAS"
Al punto donde dos o más rectas se cruzan lo llamamos punto de intersección, lo que puede suceder de tres maneras diferentes:
1. Al cruzarse puede suceder que formen cuatro ángulos rectos y entonces decimos que esas rectas son perpendiculares.
2. Puede suceder también que al cruzarse no formen ángulos rectos, sino dos ángulos agudos y dos obtusos, entonces las llamamos oblicuas.
3. Puede suceder también que no se crucen en ningún punto y entonces las llamamos rectas paralelas.
Para determinar la posición de las dos rectas al cruzarse o no cruzarse, utilizamos la pendiente de cada una de ellas conociendo los puntos por donde pasa.
Si son perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signo contrario.
Si son oblicuas sus pendientes no tienen ninguna relación.
Si son paralelas sus pendientes son iguales.
2.7. " ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS"
El ángulo de intersección entre dos rectas es el que forman al cruzarse. Para encontrar la forma de obtener el ángulo que forman dos rectas al cruzarse, utilizaremos un teorema que dice:
"El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él"
Aplicando el teorema anterior, tendremos β₂ = θ + β₁
Despejando θ, que es el ángulo de intersección, tendremos:
θ = β₂ - β₁
En trigonometría tenemos la siguiente fórmula:
tan( β₂ ±β₁) = tan β₂ ± tan β₁ / 1 + tan β₂ tan β₁
Si la pendientes igual a la tangente del ángulo de inclinación de una recta, entonces nuestra fórmula anterior podemos convertirla en una fórmula para obtener el ángulo entre dos rectas.
tan θ = m₂ - m₁ / 1 + m₂ m₁
Hallar el ángulo de intersección entre las rectas.
3x - 4y + 8 = 0 y 2x + 3y - 23 = 0
Para resolver este problema necesitamos las pendientes de las dos rectas.
Pendiente de la recta 3x - 4y + 8 = 0 = ___________________________ .
Pendiente de la recta 2x + 3y -23 = 0 = ___________________________.
Cualquiera de las dos rectas puede ser la de pendiente 1 o pendiente 2, sólo hay que conservarla hasta el final de la operación.
Fórmula que vamos a aplicar:
tan θ = m₂ - m₁ / 1 + m₂ m₁
Pendiente de la recta 3x - 4y + 8 = 0 _________________________.
Pendiente de la recta 2x + 3y - 23 = 0 __________________________.
Sustitución de datos
tan θ = _____________________.
Al realizar la operación de la fórmula se obtiene la tangente del ángulo, por lo que hay que buscar el inverso de la tangente, que es el valor del ángulo de intersección entre las rectas dadas.
invtanθ = _____________________________.
El valor del ángulo θ es ______________________.
2.8. "DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA"Ejercicios
Instrumentos de evaluación
Actividades (desarrollo)
Material de apoyo.
EJERCICIOS
2.6. "INTERSECCION DE RECTAS"
Al punto donde dos o más rectas se cruzan lo llamamos punto de intersección, lo que puede suceder de tres maneras diferentes:
1. Al cruzarse puede suceder que formen cuatro ángulos rectos y entonces decimos que esas rectas son perpendiculares.
2. Puede suceder también que al cruzarse no formen ángulos rectos, sino dos ángulos agudos y dos obtusos, entonces las llamamos oblicuas.
3. Puede suceder también que no se crucen en ningún punto y entonces las llamamos rectas paralelas.
Para determinar la posición de las dos rectas al cruzarse o no cruzarse, utilizamos la pendiente de cada una de ellas conociendo los puntos por donde pasa.
Si son perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signo contrario.
Si son oblicuas sus pendientes no tienen ninguna relación.
Si son paralelas sus pendientes son iguales.
2.7. " ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS"
El ángulo de intersección entre dos rectas es el que forman al cruzarse. Para encontrar la forma de obtener el ángulo que forman dos rectas al cruzarse, utilizaremos un teorema que dice:
"El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él"
Aplicando el teorema anterior, tendremos β₂ = θ + β₁
Despejando θ, que es el ángulo de intersección, tendremos:
θ = β₂ - β₁
En trigonometría tenemos la siguiente fórmula:
tan( β₂ ±β₁) = tan β₂ ± tan β₁ / 1 + tan β₂ tan β₁
Si la pendientes igual a la tangente del ángulo de inclinación de una recta, entonces nuestra fórmula anterior podemos convertirla en una fórmula para obtener el ángulo entre dos rectas.
tan θ = m₂ - m₁ / 1 + m₂ m₁
Hallar el ángulo de intersección entre las rectas.
3x - 4y + 8 = 0 y 2x + 3y - 23 = 0
Para resolver este problema necesitamos las pendientes de las dos rectas.
Pendiente de la recta 3x - 4y + 8 = 0 = ___________________________ .
Pendiente de la recta 2x + 3y -23 = 0 = ___________________________.
Cualquiera de las dos rectas puede ser la de pendiente 1 o pendiente 2, sólo hay que conservarla hasta el final de la operación.
Fórmula que vamos a aplicar:
tan θ = m₂ - m₁ / 1 + m₂ m₁
Pendiente de la recta 3x - 4y + 8 = 0 _________________________.
Pendiente de la recta 2x + 3y - 23 = 0 __________________________.
Sustitución de datos
tan θ = _____________________.
Al realizar la operación de la fórmula se obtiene la tangente del ángulo, por lo que hay que buscar el inverso de la tangente, que es el valor del ángulo de intersección entre las rectas dadas.
invtanθ = _____________________________.
El valor del ángulo θ es ______________________.
La distancia de un punto a una recta , es el segmento que va del punto dado al punto donde la perpendicular que pasa por el punto dado corta la recta.
Hallar la distancia del punto (2, 1) a la recta 3x + 5y - 36 = 0
Para encontrar la ecuación de la recta que es la distancia de (2, 1) a la recta 3x + 5y - 36 = 0, buscamos la pendiente de la recta dada. Aplicando la fórmula m = -A/B = -3/5.
La pendiente de la perpendicular será recíproca y de signo contrario m = 3/5.
Con esta pendiente y el punto (2,1) por donde pasa la perpendicular, encontraremos la ecuación buscada.
y - y₁ = m(x - x₁ )
y - 1 = 5/3 (x - 2)
3(y- 1) = 5(x - 2)
3y - 3 = 5x - 10
Pasando todos los términos al primer miembro y reduciendo términos semejantes.
-5x + 3y + 7 = 0
Cambiando signos.
5x - 3y - 7 = 0
Con esta ecuación y la ecuación dada, buscamos el punto donde se cruzan las dos rectas aplicando el procedimiento de reducción por suma y resta para resolver un sistema de ecuaciones y encontrar el punto buscado.
3x + 5y = 36
5x - 3y = 7
Eliminamos x.
5(3x + 5y = 36)
3(5x - 3y = 7)
Eliminamos los paréntesis.
15x + 25y = 180
15x - 9y = 21
Cambiamos signos a una de las ecuaciones multiplicándola por (-1).
15x + 25y = 180
-15x + 9y = -21
￣￣￣￣￣￣￣
34y = 159Al eliminar los términos en "x" nos quedan 34y = 159.
Pasamos el 34 al segundo miembro dividiendo.
y= 159/34 ⇒ y= 4.6
Sustituimos el valor de "y" en una de las ecuaciones para encontrar el valor de x.
3x + 5y = 36
3x + 5(4.6) =36
Hacemos operaciones al multiplicar 5(4.6) = 23.
3x + 23 = 36
Pasamos el 23 al segundo miembro.
3x= 36 - 23
3x= 13
x= 13/3
x= 4.3
Ahora buscaremos la distancia del punto (2, 1) y (4.3, 4.6).
Para encontrar esta distancia, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos estudiada en temas anteriores.
d= √ (x₁ - x₂ )² + (y₁ - y₂ )² Sustituyendo.
d= √ (2- 4.3)² + (1 - 4.6)² Hacemos las operaciones.
d= √ (2.3)² + (-3.6)² Elevamos al cuadrado.
d= √ 5.29 + 12.96 Sumando.
d= √ 18.25 Extraemos la raíz cuadrada.
d= 4.27.
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
MATERIAL DE APOYO
RECTAS:
http://www.mediafire.com/file/ls8rmfe884tjj37/Linea_Recta.pdf/file
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