Semana 1

UNIDAD 1: SISTEMAS

OBJETIVO:

• Desarrollará innovaciones y propondrá soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
• Aprenderá por iniciativa por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
• Formulará y resolverá problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
• Analizará las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
• Explicará e interpretará los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

TEMAS
1.1. Distancia entre dos puntos.
1.2. División de un segmento en una razón.
1.3. Punto medio de un segmento.
1.4. Coordenadas polares.

¿ESTAS LISTO? A TRABAJAR!!

La unidad incluye:

• Evaluación diagnóstica
• Ejercicios
• Instrumentos de evaluación
• Actividades (inicio, desarrollo, cierre)
• Material de apoyo.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Antes de comenzar con las actividades es importante que contestes la siguiente evaluación diagnóstica, para asi conocer tus conocimientos previos.

Instrucciones: Contesta y resuelve lo que se te pide. (CLAVE DEL EJERCICIO K3)

1. ¿Cómo se orientaban los antiguos navegantes?

2. Explica cómo funciona una brújula.

3. ¿Quiénes inventaron la brújula?

4. ¿Cómo le ha servido a la navegación actual el sistema de coordenadas?

5. ¿Has utilizado alguna vez un aparato GPS?

6. ¿En qué tipo de equipo lo utilizaste?

7. Si en un sistema de coordenadas existen dos ejes (x, y), ¿Cuáles serán los ejes en las coordenadas geográficas?.

8. ¿Cómo se le llama al punto donde se cruzan los ejes de un sistema de coordenadas?

9. ¿Cómo se le llama al eje horizontal?

10. ¿Cómo se le llama al eje vertical?

11. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cruzan los ejes de las coordenadas?

12. ¿Cómo se representan los signos en un sistema  de coordenadas en el eje horizontal o eje de las x?

13. ¿Cómo se representan los signos en el eje vertical o eje de las y?

14. Localiza los puntos A(3,4), B(-2,3), C(-3, -5) y D(5,-4) en un plano cartesiano.




EJERCICIOS

1.1. "DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS".

Una de las aplicaciones de las coordenadas es:

• La de poder encontrar la distancia entre dos puntos.
• Localizar un punto en un sistema de coordenadas en un planisferio.

Al encontrar la distancia entre dos puntos, podremos calcular perímetros, áreas de figuras planas, etc.

Para poder utilizar las coordenadas y calcular la distancia entre dos puntos de una figura plana nos valdremos del teorema de Pitágoras, porque la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano no es otra cosa que calcular la hipotenusa de un triangulo rectángulo.

Para calcular la distancia entre dos puntos, hemos de recurrir al teorema de Pitágoras: "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". c² = a² + b² en el triángulo rectángulo.

Ejemplo 1: Calcular la distancia de AーB en el plano cartesiano siguiente:

El teorema de Pitágoras se expresa como c² = a² + b²       →        c= √a² + b²

Sustituyendo los valores se tiene que:

d= √ (3)² + (3)²

d= √9 + 9
d= √18
d= 4.24

Por la cual podemos deducir que la respuesta de la distancia de AB es igual a 4.24.



Ejemplo 2: Dadas las siguientes medidas, calcular la medida AC del siguiente triángulo rectángulo.

DATOS:                                         FORMULA:                                     SUSTITUCIÓN          
AB = 5                          c² = a² + b²        →      c =√ a² + b²               c = √ (5)² + (2)²
BC= 2                                                                                                 c= √ 25 + 4
AC= ?                                                                                                 c= √ 29
                                                                                                           c= 5.38

Por tal motivo se llega a la respuesta que en este caso es 5.38 la medida de la hipotenusa AC.

1.2. "DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN"

Una razón es la comparación de dos cantidades por medio de una división.

Así:

• La comparación del 3 con el 4 es 3/4.
• La comparación del 4 con el 2 es 4/2= 2, significa que 4 es el doble de 2.
• Si comparamos el 3 con el 9 tendremos: 3/9 = 1/3, porque significa que 3 es la tercera parte de 9.

Si la línea no se encuentra en forma horizontal o vertical se busca la proyección de la línea sobre el eje horizontal.

• Así la proyección de P₁¯P sobre el eje horizontal es A₁¯A.
• La proyección de la distancia P₁¯P₂ sobre el eje horizontal será A₁¯A₂.

Tal como se muestra en el siguiente plano cartesiano.

Las coordenadas del punto A¯₁ = (x,0),  A= (x,0),  A¯₂ = (x₂,0).

P₁¯P / P₁¯P₂ = A₁¯A / A₁¯A₂

Como la distancia de A₁¯A = x - x₁ y la distancia A₂¯A = x₂ - x tendremos:

r = A₁¯- A / A₂¯-A = X - X₁ / X₂- X

Si de esta fórmula despejamos x tendremos:

r(x₂- x) = (x - x₁)

Eliminando paréntesis.

rx₂ - rx = x - x₁

Agrupamos los términos que son semejantes.

rx₂ + x₁ = rx + x

Si factorizamos el segundo miembro tendremos:

rx₂ + x₁ = x(r + 1)

Si pasamos r + 1 al primer miembro pasará dividiendo.

x= rx₂ + x₁ / r + 1

Con esta fórmula podemos encontrar el valor de x del punto buscado.

Si aplicamos los mismos pasos para encontrar la fórmula que nos dé el valor de "y" para el punto buscado.

y= ry₂ + y₁ / r + 1

APLICACIÓN DE LA FÓRMULA

Las coordenadas de los puntos extremos de un segmento son P₁ (2, 3) y P₂ (12, 9). Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento en la razón 1/2.

Nota: Significa que la distancia P₁¯P es igual a la mitad de la distancia de P¯P₂.

Si observamos las proyecciones en el eje de las x, veremos que la distancia de P₁¯P = 3.3 y la distancia P¯P₂ = 6.6, lo que significa que 3.3, es un medio de 6.6, por lo que podemos afirmar que el punto encontrado, es correcto.

ENCONTRAR LA RAZÓN CUANDO SE CONOCEN LOS TRES PUNTOS.

Si lo que se busca es encontrar la razón entre dos segmentos, las fórmulas son:

Esta fórmula se utiliza cuando se conocen los tres punto (P,P₁, P₂)

r = ¯A₁ - A¯ / ¯A₂ - A¯

1. Hallar la razón en la que divide el punto P(2, -1) al segmento P₁ (-2, -4) y P₂ (12, 6)

r = x - x₁ = 2-(-2) = 2 + 2 = 4 = 2

    ￣￣￣  ￣￣￣ ￣￣￣ ￣  ￣

     x₂ - x     12 - 2      10      10   5

Observación: aunque la recta no pasa exactamente por (2, -1) sí podemos apreciar que la razón es aproximadamente, porque la distancia sobre el eje x de P₁ a P es de 4 unidades y la distancia de P a P₂ es de 10 unidades, lo que significa que la razón es... 4/10 = 2/5.

La fórmula anterior también nos sirve para encontrar la razón en la que un segmento divide a otro, sólo que hay que aplicarla también en "y" para obtener la ordenada.

Resolveremos uno de los problemas ya resueltos anteriormente para comprobar:

r = ¯A₁  -  A¯                                          r = y - y₁

   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯                                          ¯¯¯¯¯¯¯
       ¯A₂ - A¯                                                y₂- y

1. Si las coordenadas del segmento ¯AB¯ son A(-7, 2) y las de B(11, 9) encuentra las coordenadas del punto P cuya razón respecto a este segmento sea

De la misma manera localizamos el valor de y.

r = x - x₁                                                                                                            r = y -y₁
    ¯¯¯¯¯¯                                                                                                             ¯¯¯¯¯¯
      x₂ - x                                                                                                                 y₂ - y

1 = x - (-7)          Eliminamos el paréntesis realizando                                    1 = y - 2
¯¯  ¯¯¯¯¯¯               la multiplicación de signos                                             ¯¯ ¯¯¯¯¯¯
3     11 - x                                                                                                          3      9 - y

1 = x + 7
¯¯  ¯¯¯¯¯               Los multiplicamos cruzados                                      9 - y = 3( y - 2)                    
3    11 - x


11 - x = 3 (x + 7)                                                                                        9 - y = 3y - 6

11 - x = 3x + 21                                                                                         -y -3y = -6 -9

-x -3 = 21 - 11      Juntamos los términos semejantes                                    -4y = -15

-4x = 10                                                                                              y = -15 =  3  =
                                                                                                               ¯¯¯¯¯ 3¯¯      3.75
x = 10 / -4                                                                                                   -4      4

x= -2.5                    


P( -2.5, 3.75) Son las coordenadas del punto buscado.




1.3. "PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO"

El punto medio de un segmento es aquel que se encuentra a la misma distancia de los dos extremos del segmento. Como la distancia del punto medio con los dos extremos es igual, entonces la razón es 1, lo que significa al dividir la longitud de uno de ellos entre la longitud del otro el resultado es uno (1).

La distancia ¯AP¯ es igual a la distancia ¯PB¯.

¯AP¯ = 6
¯PB¯ = 6

Si dividimos 6 entre 6, el resultado es 6/6=1 (lo que significa que los dos segmentos son iguales y P es el punto medio de ¯AB¯.

Si aplicamos la fórmula tendremos:

1. Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento A(2, 1) y B(14, 9) en una razón igual a 1. (CLAVE DEL EJERCICIO K9).

1. ¿Cuáles son esas coordenadas?.
2. Mide la distancia ¯AP¯.
3. Mide la distancia ¯PB¯.
4. ¿Cómo son esas distancias?.
5. ¿Qué significa que la razón sea igual a 1?.

Si vemos la fórmula para hallar el punto que divide a un segmento en una razón dada y sustituimos     r = 1, encontraremos un procedimiento más sencillo para localizar el punto medio de un segmento.

De la misma manera podremos encontrar la fórmula para el valor en "y".

APLICACIÓN

Hallar el punto medio del segmento que une los puntos M(-4, -2) y N(12, 8).

Calcular el punto medio de un segmento es de gran utilidad en actividades geométricas, como saber el punto por donde pasa una mediatriz de un segmento, el punto medio de un segmento para unirlo al vértice opuesto y trazar una mediana, conocer en una circunferencia el punto correspondiente al radio si se conocen los puntos extremos del diámetro o a la inversa, conocer el otro extremo de un diámetro si se conoce el radio, etc.

1.4. "COORDENADAS POLARES"

El sistema de coordenadas polares se representa por un sistema de dos dimensiones, ya que para localizar un punto son necesarios un ángulo y la longitud de su radio o de su lado (distancia sobre el eje x). Lo anterior significa que si se desea localizar un punto utilizando las coordenadas polares, debe conocerse la amplitud del ángulo y la longitud del radio o lado a partir de su origen.

Ejemplo:

Localizar el punto (4, 48°)

A diferencia de las coordenadas rectangulares donde los dos puntos que se conocen uno sobre el eje x y otro sobre el eje y los datos de las coordenadas polares son el ángulo y la longitud del radio (distancia sobre el eje x a partir del vértice del ángulo origen).

Las coordenadas polares se representan por el par ordenado P(r, θ) donde "r" es el radio, al que se conoce como coordenada radial y "θ" es el valor del ángulo, al que se conoce como coordenada angular.

ELEMENTOS DE UNA COORDENADA POLAR

Radio vector

El radio vector de un punto es la distancia del vértice (polo) a un punto de la recta.

Ángulo polar

Podemos considerar al ángulo polar como la amplitud entre el eje polar y el radio vector o sea que el lado inicial será el eje polar y el lado terminal el radio vector.

Este ángulo se mide en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Para localizar un punto se facilita hacerlo mediante coordenadas polares, que consisten en circunferencias concéntricas que como puedes ver los radios representan ángulos de 30°, mas como no siempre es posible contar con este tipo de formato, utilizaremos las coordenadas rectangulares.

"TRANSFORMACIONES DEL SISTEMA COORDENADO POLAR AL RECTANGULAR Y VICEVERSA"

a) De coordenadas cartesianas a coordenadas polares.

Si se desea convertir la localización de un punto dado en coordenadas cartesianas P(x, y) a un punto en coordenadas polares P(r, θ), es necesario encontrar el valor de los tres lados del triángulo que se forma o sea la hipotenusa porque ya conocemos los dos catetos que son los valores (x, y).

Ejemplo:

Convertir el punto (6, 8) a coordenadas polares.

Primero localizamos el valor de la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras.

a² + b² = c², De donde hipotenusa² = x² + y²

h² = 6² + 8²
h² = 36 + 64
h² = 100
h = √100
h= 10

Ya tenemos la primera coordenada polar P(10, θ). Ahora buscaremos el valor del ángulo.

Para encontrar el valor del ángulo utilizamos la función trigonométrica tangente, ya que conocemos el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Tanθ = cateto opuesto =  8  =  1.3333
          ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯   ¯¯¯  
           cateto adyacente   6


Para encontrar el valor del ángulo buscamos el inverso tangente.


arc tanθ =  y  =  8  = 1.3333                  
                ¯¯¯  ¯¯¯
                  x      6

θ = 53.13°


Ahora ya tenemos la segunda coordenada que es el valor del ángulo, por lo tanto las coordenadas polares del punto P(6, 8) serán P(10, 53.13°), lo que significa que el valor de la hipotenusa (radio vector) es 10 y el valor del ángulo polar es 53.13°.

Resultado: P(10, 53.13°)

Esto significa que el punto buscado se encuentra a 10 unidades del origen con un ángulo de inclinación de 53.13°.

b) Transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

Para transformar las coordenadas polares de un punto a coordenadas rectangulares, debemos localizar el valor de las distancias en "x" y "y". Si conocemos el valor del radio vector (que viene siendo lo mismo que la hipotenusa del triángulo) y también conocemos el valor del ángulo polar θ, entonces recurriremos a la trigonometría estudiada previamente para localizar un cateto cuando conocemos la hipotenusa y el ángulo, por lo que las funciones que podemos utilizar son seno o coseno.


Sen θ =  cateto opuesto
             ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯                         sería para localizar el valor de "y"
                 hipotenusa
           


cos θ =  cateto adyacente
             ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯                    sería para encontrar el valor de "x"
                  hipotenusa


Podemos utilizar las dos funciones para los valores de x y y pero, también no es necesario utilizar las dos formulas, ya que al conocer uno de los catetos y la hipotenusa podemos emplear otra fórmula.

¿Cuál fórmula utilizarías?💭

Ejemplo: Las coordenadas polares de un punto son P(6, 80°), los que significa que el radio vector mide 6 unidades y el ángulo polar mide 80°.

Si lo que nos falta es el valor en "x"(eje polar) y el valor en "y", entonces utilizamos una de las dos funciones mencionadas (seno para el valor en "y" y coseno para el valor en "x").


cos θ =  cateto adyacente  =                        =      x

            ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯         cos 80°          ¯¯¯¯¯
                 hipotenusa                                          6


Si despejamos "x" nos quedara:      x = 6 cos 80°

Buscamos el valor de cos de 80°:   x = 6(0.1736)   ⇒    x = 1.0418

Si utilizamos la función seno para calcular el valor de "y" tendremos:


sen θ =  cateto opuesto  =                    =     y
            ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯        sen 80°        ¯¯¯
                hipotenusa                                   6

Si despejamos "y" nos quedará:       y = 6 sen 80°

Buscamos el valor de seno de 80°:    y = 6(0.9848)    ⇒    y = 5.9088

Si deseamos comprobar si los valores encontrados son correctos, utilizaremos el teorema de Pitágoras porque se trata de un triángulo rectángulo y debe cumplir esta condición.

a² + b² = c²

Donde "c" es la hipotenusa y "a" y "b" son los catetos.

6² = 1.0418² + 5.9088²

36 = 1.0853 + 34.9139  = 35.9992

36 = 35.9992 operación que debemos dar por valida porque los resultados están dados en decimales y las fracciones no son exactas.

Al inicio de este tema mencionamos que no era necesario calcular las dos funciones para encontrar el otro valor, y el procedimiento sugerido podría ser aplicar el teorema de Pitágoras.

Si ya habíamos calculado el valor de "x", entonces ya teníamos dos valores de los lados del triángulo y el tercero se calcularía con el teorema mencionado.

Si a² + b² = c²,        entonces
a² = c² - b²              Pasamos b² al segundo miembro
a² = 6² - 1.0418²     Le asignamos valores a "c" y "b"
a² = 36 - 1.0853
a² = 34.9147
a = √ 34.9147
a= 5.9088          El mismo valor obtenido mediante la función trigonométrica.

Ahora ya sabemos que las coordenadas polares (6, 80°) representan el mismo punto que las coordenadas rectangulares (1.0418, 5.9088).

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Recuerda enviar al correo esta autoevaluación

MATERIAL DE APOYO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
http://www.mediafire.com/file/s82190hv4e09r15/distancia_entre_dos_puntos.pdf/file

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN:
http://www.mediafire.com/file/bne1z623c1bcdzw/division_de_un_segmento_en_una_razon.pdf/file

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
http://www.mediafire.com/file/p5p1v45yk9n9r6t/Segmento_y_punto_medio.pdf/file

COORDENADAS POLARES:
http://www.mediafire.com/file/j1ccfd1g1v8v14e/Coordenadas_polares.pdf/file