Semana 4

UNIDAD 3: CÓNICAS

OBJETIVO:

• Argumentará la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 

3.1. Circunferencia.

3.2. Parábola

¿ESTAS LISTO? ¡A TRABAJAR!

La unidad incluye:

• Evaluación diagnóstica.
• Ejercicios
• Actividades (inicio, desarrollo)
• Material de apoyo.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

1. ¿Qué es una circunferencia?

2. ¿Qué es para ti una parábola?

3. Describe una elipse.

4. Explica lo que es una parábola.

EJERCICIOS

3.1. "CIRCUNFERENCIA"

A una circunferencia, geométricamente la conocemos como el lugar geométrico en el que todos sus puntos equidistan de un punto interior fijo al que llamamos centro. La distancia del punto interior a cualquiera de los puntos de la circunferencia lo llamamos radio. Esta figura es seguramente, junto con la línea recta una de las más conocidas.

Analíticamente en una figura representada por una ecuación de la forma x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Para identificar una circunferencia, basta con conocer el centro y el radio. La siguiente figura representa una circunferencia de centro el origen y radio 5 ( como puedes apreciar la distancia en "x" del centro a un punto de la circunferencia es 5 y la distancia en "y" del centro a un punto de la circunferencia es 5 también).

La siguiente ecuación es de una circunferencia de centro en el origen (0, 0) y radio 4.

La siguiente ecuación se refiere a una circunferencia en la que su centro está fuera del origen y sus coordenadas son C(-3, 5) y su radio mide 6 unidades.

En las circunferencias con centro fuera del origen se usan las letras (h, k) para sustituir a las letras (x, y) que usamos normalmente. Las letras (k, k) representan las coordenadas del centro como si fueran (x, y) y tienen valores numéricos. Las letras (x, y) en la fórmula no representan valores reales, sólo se escriben.

Los casos anteriores nos indican que según la ecuación, la circunferencia puede tener su centro en el origen o fuera de él. Más adelante aprenderás al ver una ecuación cual es su centro y su radio y si está su centro en el origen o fuera de él.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

En una circunferencia encontraremos los siguientes elementos: radio, centro, diámetro, tangente, secante, cuerda, arco y flecha.

Diámetro: Une dos puntos en la circunferencia pasando por el centro.

Centro: Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

Radio: Va del centro a cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda: Línea que une dos puntos de la circunferencia. La cuerda mayor es el diámetro.

Tangente: Línea que toca la circunferencia en un solo punto. También se dice que es una línea que solo tiene un punto común con la circunferencia. Esta línea es perpendicular al radio en el punto de tangencia, lo que significa que la tangente y el radio forman ángulos rectos.

Secante: Línea que corta la circunferencia en dos puntos.

Flecha: Línea perpendicular a la cuerda que va del centro de la cuerda a un punto de la circunferencia.

Arco: Es un segmento de la circunferencia limitado por los extremos de una cuerda.

Sin embargo, para la geometría analítica sus principales elementos son el centro y el radio, porque conociendo estos elementos podemos trazar una circunferencia en un sistema de ejes coordenados.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

Si tenemos la circunferencia de centro en el origen y radio 5 la gráfica en un sistema de ejes coordenados será como aparece en la siguiente gráfica.

Si ya vimos que para determinar una circunferencia basta conocer el centro y el radio y como el centro ya sabemos que es C(0, 0), el radio será la distancia al punto P(x, y) que puede ser cualquier punto de la circunferencia porque todos están a la misma distancia del centro.

Aplicaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos para hallar su ecuación.

d= √ (x₂ - x₁ )²   +    (y₂ - y₁ )²

Si elevamos los dos miembros al cuadrado tendremos:

d²= ( √ (x₂ - x₁ )²    +   (y₂ - y₁)² )²

d= (x - x )    +    (y - y )

Se elimino el exponente con el radical.

Si sustituimos los datos en la fórmula y la distancia (d) por el radio (r) tendremos:

Si (x₁ , y₁ ) por (0, 0)

r² = (x - 0)²   +   (y - 0)²

r² = x²  +  y²

Entonces la ecuación de la circunferencia anterior será:

x²  +  y² = 25

1. Hallar la ecuación de centro el origen y radio 6.

x² + y² = 6²

x² + y²= 36

Gráfica de la ecuación:

Para trazar la gráfica se hace una tabulación donde se despeja "y" y se le asignan valores arbitrarios para localizar los puntos por donde pasará la circunferencia.

y = √ (36 - x²)

3.2. "PARÁBOLA"

Una parábola la definimos como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que su distancia a una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano que no pertenece a la recta.

ELEMENTOS

Los elementos principales de una parábola son: vértice, foco, directriz, lado recto y parámetro.

A la línea que divide por la mitad a la parábola como en el ejemplo es el eje X se le llama eje de la parábola.

El vértice es un punto de la parábola que se encuentra en el punto donde el eje corta la parábola y además es el punto medio de la distancia del foco a la directriz: es decir, que la distancia del vértice al foco es la misma distancia que del vértice a la directriz.

A la distancia del vértice al foco la llamamos parámetro.

La directriz es una recta imaginaria cuya distancia al vértice es igual que la distancia del vértice al foco.

Cuando el vértice está en el origen del sistema coordenado, decimos que su valor es V(0, 0)

Llamamos cuerda de una parábola a cualquier línea que une dos puntos de la parábola pasando por el foco. Sin embargo, hay una cuerda a la que le damos un nombre especial y es aquella que pasando por el foco es perpendicular al eje de la parábola.

MATERIAL DE APOYO

LA CIRCUNFERENCIA:
http://www.mediafire.com/file/bb43z3zangus4rf/La_circunferencia.pdf/file

PARÁBOLA:
http://www.mediafire.com/file/u2vd3onhndtt92a/Par%25C3%25A1bola.pdf/file